sábado, 9 de outubro de 2010

ESTRATÉGIAS DE ENSINO-MATEMÁTICA

Avaliação inicial para aplicação do conteúdo de matemática
O professor ao iniciar um conteúdo tem em mãos o planejamento de tudo o que vai ser dito e trabalhado com os alunos durante a exposição do mesmo. Agora, como ele irá colocar em prática todo seu planejamento é a grande dificuldade.

O professor que ao iniciar um conteúdo discorre todo ele sobre os alunos não irá receber um retorno satisfatório, pois não existe aprendizado sem prática, sem relação com a realidade. Quando é proposto um diálogo com a turma acerca do tema o retorno geralmente não é positivo, pois nesse caso apenas os alunos mais comunicativos irão tomar a iniciativa de dar a sua opinião, o professor não irá conseguir atingir a maioria da classe.

Fazer perguntas sobre o assunto e conversar na roda são práticas importantes, mas insatisfatórias, a atitude correta seria sugerir uma atividade em que os alunos possam colocar em prática informações e procedimentos que dominam, pois o contato direto com o conteúdo dá ao aluno a oportunidade de dar movimento ao seu conhecimento.

Essa atividade proposta pelo professor para iniciar a aplicação de um conteúdo pode ser chamada de avaliação inicial, pois é com ela que o educador terá uma visão de como irá iniciar o conteúdo programático.

Por exemplo: uma das melhores maneiras em matemática de aplicar uma avaliação inicial é propor uma situação problema, pedir que o aluno com o seu conhecimento encontre a solução. Com certeza o professor irá encontrar inúmeras formas de resolver, mas é dessa forma que irá conhecer melhor os seus alunos.

A ligação do conteúdo programático com a avaliação inicial é importantíssima, não se deve propor ao aluno uma atividade (situação-problema) que não esteja relacionada com o planejamento.

Todo esse processo requer tempo, para colocar em prática corretamente essa avaliação inicial é preciso no mínimo 2 aulas (100 minutos). Durante esse tempo o professor deverá propor mais de uma situação-problema (não é aconselhado passar todos de uma vez, espere que o aluno termine um para expor o outro), a partir do momento que as soluções forem aparecendo o educador terá uma visão mais ampla de como explicar o conteúdo, pois irão aparecer alunos com mais de uma estratégia, alunos que não encontraram estratégia nenhuma.

Todas as estratégias utilizadas deverão ficar expostas e logo após discutidas com eles, quais delas valem, o professor deverá deixar claro para o aluno porque certas estratégias são válidas e outras não. Assim, é possível montar um diagnóstico da turma em relação ao conteúdo que ainda será exposto para eles.

O professor poderá ainda montar grupos compostos por alunos que obtiveram diferentes estratégias, propondo uma discussão, com certeza irão encontrar outras estratégias.

A partir desse trabalho realizado o professor deverá inserir o conteúdo planejado, é evidente que o grau de dificuldade dos alunos será menor.



Trabalho em grupo visando à apresentação oral


Recentemente, a educação iniciou de forma efetiva uma reformulação quanto às metodologias de ensino empregadas na apresentação dos conteúdos teóricos e práticos de todas as disciplinas relacionadas ao ensino Fundamental e Médio. Essa reformulação inclui de forma incisiva a Matemática, que, ao longo do tempo educacional é caracterizada de forma negativa pela maioria dos alunos. Procurando melhorar sua imagem perante os jovens educandos, estudiosos relacionados ao ensino desta disciplina, aliados a Pedagogos, desenvolveram técnicas pedagógicas capazes de despertar o interesse pelo ensino da ciência que enfatiza os cálculos.
Nos dias atuais, trabalhamos uma Matemática contextualizada e interdisciplinar, descartando os antigos métodos utilizados, concebidos como estáticos, inérticos. De maneira inovadora estabeleceram-se conteúdos fazendo relações com outras ciências, de modo a aplicá-los com referência a situações cotidianas. Dentre as mudanças devemos destacar as novas formas de avaliação, as quais enfatizam listas de exercícios, provas discursivas e objetivas, seminários e atividades extracurriculares de acordo os Parâmetros Curriculares Nacionais, envolvendo assuntos ligados à ética, saúde, pluralidade cultural, orientação sexual e meio ambiente.
Dentre as atividades citadas, destacamos os seminários, que por serem baseados em uma arguição oral, criam oportunidades capazes de contribuir na comunicação e no raciocínio lógico e matemático. O preparo para uma arguição oral requer do aluno uma série de fontes de pesquisas auxiliares, fato que permite um contato com diversas temáticas, promovendo a investigação perante o assunto em questão, permitindo a criação de estratégias organizacionais e despertando a interação com o meio social por intermédio de um crescimento individual e coletivo, voltado para a presença ativa na sociedade em que vivemos.
Os trabalhos visando às apresentações individuais ou coletivas devem incluir em seu desenvolvimento, aplicações matemáticas cotidianas, como por exemplo, pedir ao aluno que enfatize sobre a utilização da porcentagem no mercado financeiro. Ao abordar esse assunto, ele pode relacionar porcentagem com aplicações bancárias, pagamento de juros, aumentos e descontos, estudo da inflação e da deflação, taxas, impostos, tributos, entre outras situações. Ainda na área financeira, podemos relacionar entre os trabalhos, a importância do Banco Central, Banco do Brasil e Caixa Econômica Federal.
Temas relacionados à Geometria Plana ou Espacial também podem ser abordados em seminários. O estudo de áreas e volumes é de grande importância para a compreensão da localização, espaço e capacidade. Estimule a medição de áreas, como o próprio ambiente escolar e o volume de objetos, como: latas de refrigerante ou de óleos, embalagens de leite, caixas d’água, entre outros. Trabalhe também os conceitos Trigonométricos, pois eles permitem a utilização de inúmeras aplicações cotidianas.
Os temas relacionados são simplesmente tópicos de orientação, ficando a critério do profissional, relacionar a seus alunos inúmeras situações nas quais a utilização dos conceitos matemáticos é de extrema importância.

Caça Palavras

Uma excelente metodologia usada na Matemática para se obter um melhor ensino-aprendizado é o uso dos jogos. Eles devem ser usados no intuito de despertar o raciocínio lógico ou verificar os conteúdos já trabalhados em sala pelo professor. O jogo que será apresentado a seguir tem por objetivo a segunda opção, pois devemos avaliar e verificar se o aluno está aprendendo a calcular e a relacionar os fundamentos com suas respectivas teorias.
Este jogo deverá ser trabalhado em qualquer série do ensino fundamental, basta adequá-lo ao conteúdo mais conveniente.
Algumas situações matemáticas serão relacionadas, os alunos deverão procurar no quadro de palavras os nomes dos conteúdos das situações.

√25 = 5 _________________
125 : 25 = 5 ______________
351 – 123 = 228 ___________
125 + 32 = 157 ___________
 (2x+3)2= 4x2 + 12x + 9 ______
32 x 3 = 96 _______________
4 x 5 = 5 x 4 ______________
2x(7+2) = 2x7 + 2x2 ________
3x3x3x3x3 = 35 ___________

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola



Calculando a Raiz Quadrada de um Número Natural
Calcular a raiz quadrada de um número natural x consiste em determinar o número que elevado ao quadrado resulta em x. Observe:

√25 = 5, pois 5² = 25

O cálculo da raiz quadrada de um número pode ser realizado de diferentes maneiras, ficando a critério do professor qual metodologia utilizar.

1ª situação
O professor pode realizar uma listagem de números quadrados perfeitos, pois são eles que possuem raiz quadrada exata. Essa listagem deve começar a partir do número 1. Observe:


Note que a listagem dos números quadrados perfeitos é infinita. Portanto, esse método possui eficácia quando se envolve números de valores pequenos.



2ª situação

A fatoração auxilia o cálculo da raiz quadrada de números, pois ao realizarmos a decomposição em fatores primos, os números semelhantes são agrupados a partir de um expoente igual a 2. Após o agrupamento, realizamos uma simplificação multiplicando as bases dos expoentes. Veja:


√100

Decomposição em fatores primos


√256

Decomposição em fatores primos




3ª situação

Podemos relacionar a raiz quadrada de um número natural com a área e a medida do lado de um quadrado. Observe o exemplo:

Se um quadrado possui área de 625 m², a medida de seu lado é igual a 25, pois 25 x 25 = 625. Portanto, a raiz quadrada de 625 é igual a 25.


Por Marcos Noé
Graduado em Matemática

Batalha Naval
O professor e até mesmo os pais que queiram tornar o aprendizado da tabuada mais agradável para os seus alunos e filhos, pode estar utilizando uma estratégia pedagógica chamada jogo. Existem vários jogos que podem ser aplicados no aprendizado da matemática. Um deles é a Batalha Naval, que é um jogo muito conhecido entre as crianças e que pode ser relacionado com a matemática. Veja como:

Batalha Naval

Material utilizado:
Uma cartela


Dois conjuntos de fichas com resultados da tabuada de 8, 9 e 10.


Pinte o fundo de uma cartela de vermelho e deixe o outro branco para diferenciá-las.

Número de participantes:
2

Regras do jogo:
• Recorte as fichas com os valores das tabuadas de 8, 9 e 10.
• Um jogador fica com as fichas que tiverem o fundo vermelho e outro com a que tiver o fundo branco.
• Antes de iniciar o jogo deve-se estabelecer o total de fichas que será usado (10, 20 ou 30 fichas para cada jogador participante).
• Em seguida, os jogadores distribuem as fichas em suas cartelas da maneira que achar conveniente e de modo que um não veja a distribuição do outro (os competidores devem sentar-se frente a frente a uma distância razoável).
• O primeiro jogador, determinado por sorteio, dá um tiro, ou seja, escolhe um número de 1 a 7 e uma letra de A a J, por exemplo F3.
• O segundo jogador deve, então, verificar se em sua cartela, no local de união entre a letra F e o número 3, há uma ficha. Se houver, ele diz qual é o número para que o jogador que deu o tiro efetue a multiplicação correspondente. Por exemplo: se em F3 houver uma ficha com o número 80, ele deve dizer 8 x 10 ou 10 x 8.
• Se acertar a multiplicação, o primeiro jogador pega para si a ficha do adversário, deixando-a ao seu lado. Se errar, o adversário fica com a ficha.
• O segundo jogador procede da mesma maneira.
• Vence quem obter o maior número de fichas.

OBSERVAÇÕES IMPORTANTES:

- Cada jogador tem direito a apenas um tiro.
- Quando o jogador der um tiro e não houver fichas no local escolhido, o adversário diz água e prossegue o jogo dando o seu tiro.
- A letra e o número correspondente ao tiro na água devem ser anotados numa folha à parte, para que o jogador não dê esse tiro novamente.
Por Danielle Miranda
Graduada em Matemática
Equipe Brasil Escola

















Bingo matemático

Bingo é um jogo muito conhecido praticamente por todas as crianças e muito divertido. Aproveitando essa diversão, podemos torná-la educativa, transformando o bingo tradicional em um bingo matemático, veja como:

Material:
• Como no bingo tradicional é preciso de cartelas. As cartelas no bingo matemático são as operações de multiplicação, podendo ser substituídas por qualquer outra operação ou perguntas relacionadas a algum conteúdo matemático como situação problema.


• É preciso ter fichas que contem a resposta de cada multiplicação feita nas cartelas.














Número de participantes: 2 ou 3, sendo que tem que ter uma pessoa pra sortear as fichas (respostas).

Regas do jogo:
As regras são parecidas com a do Bingo tradicional.

• Construa a tabela e as fichas.
• Cada participante escolhe uma tabela. Em seguida as fichas a pessoa que tiver responsável em retirar as fichas vão retirando uma a uma. A cada ficha, os jogadores devem procurar em sua tabela a multiplicação ou pergunta correspondente ao resultado sorteado e colocar um feijão sobre ela ou algo que possa estar marcando. Por exemplo: se a ficha sorteada for 24 a multiplicação que corresponder a esse resultado é 3x8 ou 4x6.
• Quem conseguir preencher toda a cartela primeiro grita “BINGO”, ganhando o jogo.

A estrutura do jogo Bingo pode ser aplicada com qualquer conteúdo. E uma maneira simples, prática, mas divertida de ter um instrumento de ajuda na aplicação de alguns conteúdos. Os pais podem estar utilizando esse tipo de brincadeira para estudar tabuada com o seu filho é um método menos desgastante para criança.
Por Danielle de Miranda
Graduada em Matemática
Equipe Brasil Escola






























Batalha Naval no Círculo Trigonométrico
Os jogos consistem numa ferramenta muito útil no ensino da Matemática, pois através da diversão os conteúdos são fixados de forma clara e objetiva. Dessa forma, o aluno aprende Matemática brincando, criando um gosto pela disciplina. Esse jogo especificadamente trabalha conceitos ligados às coordenadas e à localização de ângulos no círculo trigonométrico. Suas regras são simples e deve ser jogado por duas pessoas em um tabuleiro com o seguinte formato:

Regras

• Cada jogador deve ter seu tabuleiro e, sem que o adversário veja, cada um irá posicionar sua esquadra composta dos seguintes elementos:

Um porta aviões (5 marcas X em posições sucessivas numa reta ou num círculo)
Dois submarinos (3 marcas S em posições sucessivas numa reta ou num círculo)
Dois destroyers (2 marcas ∆ em posições sucessivas numa reta ou num círculo)
Cinco fragatas (1 marca F)

• Fica a critério dos jogadores quem começa o jogo.
• De forma alternada, cada jogador tem o direito a “disparar um tiro” dizendo uma posição do tabuleiro na seguinte ordem: primeiro o raio da circunferência e depois o ângulo. Exemplo: (1, 30º), (3, 330º) e etc.
• Se o tiro dado atingir um dos navios do adversário, este diz “acertou” e especifica o modelo do navio. O jogador que acertou registra, no seu tabuleiro, o navio do adversário e tem direito a novos tiros até errar.
• Caso não atinja nenhum navio, o adversário diz “água” e é sua vez de dar o tiro.
• O jogo deve prosseguir de forma que uma das frotas seja toda destruída.
• Vence quem afundar todos os navios do adversário.


Observe exemplo do tabuleiro preenchido:



Como mostrar para os alunos que fração é números

Fração é um conteúdo matemático que é iniciado aos alunos do 3º ano do ensino fundamental. A introdução desse conteúdo é de grande importância para o decorrer da aprendizagem sobre fração, por isso é preciso que o professor tome muito cuidado ao expor esse conteúdo.

A professora Adriana Gil, do 3º ano do ensino fundamental da escola municipal EMEF de São Caetano do Sul, propôs a seguinte atividade para os seus alunos:

Montou grupos de 3 alunos e entregou a cada um deles uma caixa contendo círculos, retângulos e quadrados repartidos em partes iguais. No primeiro momento os alunos montaram figuras geométricas utilizando as partes das figuras que estão na caixa. Em seguida, a professora propôs que eles observassem as figuras construídas pelos outros grupos e analisassem se são iguais ou diferentes. Um aluno, quando a professora Adriana Gil aplicou essa etapa da aula, manifestou e disse que o círculo de seu grupo era diferente do outro, pois estava repartido em partes diferentes.

Acredito que nesse momento da aula podem ser trabalhadas com os alunos outras formas geométricas repartidas em partes iguais.

Após algumas aulas trabalhando com os alunos a idéia de fração, a professora avançou um pouco e questionou os alunos: “frações são números?”. Vários alunos se manifestaram. Como as opiniões foram bastante variadas, a professora propôs que a turma fosse dividida em dois grupos, em cada grupo iria conter alunos que achavam que fração era número e alunos que discordavam. Esse momento foi dedicado para que os alunos discutissem entre si e aprendessem a defender as suas idéias.

Em outra aula a professora concluiu a questão: fração é número ou não? Utilizando uma barra de chocolate disse que se repartisse essa barra entre três alunos, cada um ficaria com uma parte que representaria 1/3 da barra toda. 1/3 é uma fração e ao mesmo tempo representa uma quantidade, utilizamos os números para representar quantidades, portanto fração é uma forma de representação numérica. Partindo também da idéia de que: como 1/3 é uma fração e fração representa divisão, podemos dizer que 1/3 é o mesmo que 1 dividido por 3, assim 1/3 é o resultado de uma divisão, essa seria uma das formas de mostrar para os alunos que fração também é número.

Dessa forma, os alunos compreendem que com as frações também é possível somar, diminuir, multiplicar e dividir.
Por Danielle de Miranda




Competição dos números racionais
Sabemos que um número é considerado racional se puder ser representado em forma de fração. Portanto, falar em fração é o mesmo que falar em número racional.

Entre dois números naturais consecutivos existem infinitas frações, por exemplo: entre 2 e 3 existem 21/10, 5/2, 29/10 e assim por diante. Para praticarmos com os alunos a ordem das frações em uma reta numerada, há uma competição muito divertida que faz com que os alunos fiquem a todo o momento envolvidos com a aula.

Essa competição pode receber o nome de: Intercalando racionais.

Objetivo: Relacionar fração com número natural, observando a característica de cada uma delas.

Público alvo: 5º ano ou 6º ano do ensino fundamental.

Tempo estimado para realização completa dessa atividade: 5 a 6 aulas.

Desenvolvimento da competição:

Primeiro momento: divida a turma em duas equipes. Cada equipe deve escolher uma fração que esteja entre os números naturais 0 e 10. Depois de escolher essa fração, o objetivo é descobrir com o menor número de perguntas possíveis, entre quais números naturais consecutivos está a fração que o outro grupo escolheu.
É importante destacar que as perguntas devem ser do tipo: a fração está entre 5 e 9? E as respostas devem “ser: “sim” ou “não”.
A equipe que acertar o intervalo (entre quais números naturais se encontra a fração) ganha um ponto. Se acertar a fração ganha mais um.

Segundo momento: esse segundo momento é uma evolução da competição onde os participantes deverão dar intervalos menores, ou seja, terão que dizer se a fração escolhida estará entre quais outras frações (está entre 1/2 e 3/4?). Essa segunda etapa é um momento de bastante discussão entre eles, pois com certeza cada grupo não irá escolher frações óbvias para dificultar para o outro grupo. Assim, os grupos terão que construir estratégias mais eficientes e com mais embasamentos matemáticos.

Terceiro momento: Depois das estratégias montadas, o professor deve registrá-las e discutir com os alunos o que é valido e o que não é valido. Para auxiliar essa discussão veja alguns pontos que podem ser abordados:
• É mais fácil operar com frações com denominadores 10, 100, 1000,...?
• Tem que identificar em uma reta numerada uma fração com intervalo menor que 1.
• Quantas frações são encontradas em um intervalo de números naturais?
Com essa conversa com os alunos, após a competição, eles irão compreender como identificar a posição de uma fração em uma reta numerada.

Avaliação: para que o professor tenha uma visão melhor de como cada aluno absorveu o conteúdo monte grupos menores e proponha que eles joguem contra você, assim terá uma idéia se realmente compreenderam. Caso tenha ficado alguma dúvida, proponha uma nova competição, mas com grupos menores.
Por Danielle de Miranda
Graduada em Matemática







Completando Quadrados

A equação do 2º grau possui inúmeras aplicações no cotidiano e sua forma de resolução está atribuída ao indiano Bhaskara, mas, aproximadamente, por volta do ano de 2000 a.C. os babilônios utilizavam outra técnica na resolução dessas equações. Somente a forma resolutiva de Bhaskara é ensinada na maioria das escolas, em razão da praticidade de trabalhar somente com o valor dos coeficientes. Mas é de extrema importância que o professor assuma a responsabilidade de trabalhar com os alunos a resolução através do complemento de quadrados.

O exemplo que será dado serve como recurso didático auxiliar, cabendo ao professor buscar novas situações. A equação do 2º grau x² – 10x = –9 será resolvida pelo método dos hindus, observe:
x² – 10x = –9

1º passo
A equação deverá ser multiplicada pelo quádruplo do coeficiente do termo elevado ao quadrado. Veja que o coeficiente é igual a 1, portanto o seu quádruplo é dado por 4.
4 * x² – 4 * 10x = –9 * 4
4x² – 40x = –36

2º passo
Somar aos membros da equação o quadrado do número que representa o coeficiente de x na equação original, nesse caso o número –10. Temos que o quadrado do número –10 é 100, então vamos somar o resultado à equação:
4*x² – 4*10x + 100 = –36 + 100
4x² – 40x + 100 = 64

3º passo
Vamos fatorar a equação. Veja:

4x² – 40x + 100 é o mesmo que (2x – 10)². Então:
(2x – 10)² = 64

Concluindo a resolução, temos que:


2x – 10 = 8 e 2x – 10 = – 8

2x – 10 = 8
2x = 18
x = 9

2x – 10 = –8
2x = – 8 + 10
2x = 2
x = 1


O grande problema desse modelo de resolução é que os hindus ainda não conheciam a raiz quadrada de um número negativo; assim, eles determinavam somente uma das raízes. No caso do exemplo dado, eles determinariam somente a raiz de número 9. Essas técnicas ajudam o aluno a compreender todos os passos de resolução de uma equação do 2º grau, o que não deixa o aluno “preso” a um único método de resolução.


Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola









Cozinha Experimental de Matemática

O ensino das frações tem início na 1º fase do ensino fundamental, através de situações envolvendo material concreto. No decorrer das séries seguintes, os conteúdos relacionados começam a ser dinamizados, as noções básicas são utilizadas na definição de razão, proporção e regra de três. O projeto cozinha experimental de Matemática é de grande valia na fixação dos conteúdos relacionados às frações. O professor deve, juntamente com os alunos, preparar algumas receitas envolvendo medidas, como o preparo de um bolo, pão de queijo, pizza entre outros. A receita padrão deverá ser alterada no intuito de mostrar aos alunos que quando aumentamos ou diminuímos a quantidade de pessoas, devemos aumentar ou diminuir os ingredientes de forma proporcional.

O intuito de relacionar a Matemática e a cozinha é que as diversas receitas utilizam em seus processos números fracionários, como 1/2 (meia) xícara, 1/3 (um terço) copo americano, entre outras medidas. A adição, a subtração, a multiplicação e a divisão são aplicadas nos processos. Observe as receitas a seguir:

Pão de queijo – 30 porções

1/2 copo de óleo de soja
1 copo de leite
4 ovos
250 gr de queijo meia-cura
1/2 kg de polvilho doce
1 colher (sobremesa) de sal

Com base na receita padrão acima, sugira ao aluno que determine as medidas caso a porção seja reduzida para 15 porções.

1/2 copo de óleo de soja
1/2 : 2 = 1/4

1 copo de leite
1 : 2 = 1/2

4 ovos
4 : 2 = 2

250 gr de queijo meia cura
250 : 2 = 125 gr

1/2 kg de polvilho doce
1/2 : 2 = 1/4 kg = 250 gr

1 colher (sobremesa) de sal
1 : 2 = 1/2


Portanto, a receita para 15 porções será:

1/4 copo de óleo de soja
1/2 copo de leite
2 ovos
125 gr de queijo meia-cura
1/4 kg de polvilho doce
1/2 colher (sobremesa) de sal


No caso de uma receita para 60 porções, teremos:

1 copo(s) de óleo de soja
2 copos de leite
8 ovos
500 gr de queijo meia-cura
1 kg de polvilho doce
2 colheres (sobremesa) de sal
Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola









Correção Comentada de Exercícios

As atividades de fixação constituem uma importante ferramenta de aprendizagem, pois os conteúdos trabalhados em sala são fixados através de exercícios com níveis gradativos de dificuldade. A Matemática necessita dessa metodologia, visto que as teorias e propriedades são assuntos abstratos e de difícil visualização por parte dos alunos. Dessa forma, os fundamentos são trabalhados com a ajuda de exercícios didáticos e modelos retirados das avaliações de vestibulares.
Objetivando índices elevados de entendimento dos conteúdos, devemos realizar uma correção comentada de exercícios. Essa correção é caracterizada pelo professor em sala de aula - utilizando o quadro, dessa forma, os alunos podem realizar a correção de seus cálculos com base na demonstração. Essa ferramenta de ensino identifica os erros cometidos e aponta os principais problemas no processo de aprendizado. Com isso o professor pode traçar metas direcionadas no intuito de esclarecer as dificuldades detectadas.
Aproveitando esse processo, o profissional pode identificar o tipo de erro que o aluno está cometendo: na interpretação, no desenvolvimento ou no desconhecimento total do conteúdo.
Erros de interpretação
Essa falha ocorre em alunos com problemas de interpretação de textos, ocasionando consequências negativas na manipulação dos dados do enunciado de um problema.
Erros de desenvolvimento
Nesse caso o estudante realiza cálculos fora de um padrão aceitável, ele procura satisfazer o resultado apropriado cometendo erros de adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação, radiciação entre outros.
Erros de desconhecimento total
A situação envolve uma escolha de operação totalmente fora do contexto proposto pelo enunciado. Ele manipula os dados escolhendo uma forma de resolução não adequada.
É por meio de algumas ferramentas metodológicas que detectamos as dificuldades ocorridas na educação, proferindo mudanças capazes de corrigir os erros e contribuindo para um melhor índice de aproveitamento e rendimento dos estudantes.
Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola












Critérios para elaboração da provas de matemática
Uma das formas de avaliação utilizadas por várias escolas e professores é a aplicação de provas bimestrais, essas têm como objetivo verificar se os alunos compreenderam a explicação de determinado conteúdo.

Esse tipo de avaliação é de caráter tradicional, mas mesmo assim não deixa de ser uma forma eficaz de avaliar, desde que seja bem elaborada com exercícios contextualizados e de claro entendimento.

Um dos maiores problemas enfrentados na aplicação de provas é que muitas delas no lugar de avaliar o que os alunos aprenderam avaliam o que eles não sabem fazer. Dessa forma, para que esse método de avaliação seja bem sucedido e os objetivos sejam alcançados é preciso que:

• No lugar de aplicar uma prova bimestral, essa pode ser dividida em várias outras provas menores que serão aplicadas ao término de cada conteúdo, no decorrer do bimestre.
• Os objetivos a serem atingidos com as provas devem ser claros, tanto para o professor como para o aluno.
• 80% das questões da prova devem ser voltadas ao conteúdo, ou seja, devem ser questões que verifiquem precisamente os objetivos que devem ser atingidos.
• Os outros 20% podem ser desafios maiores que também são educativos.

Mesmo utilizando de todas essas dicas na aplicação de provas como método de avaliação, se levar em consideração o ensino da matemática voltado para o desenvolvimento intelectual, social dos alunos, é preciso que seja adotado outro tipo de avaliação paralela às provas, são as chamadas avaliações contínuas, que são aplicadas diariamente.

Essa é uma maneira de permitir que os alunos manifestem as várias competências, que o professor conheça melhor a verdadeira dificuldade do aluno e é uma forma daqueles que não têm tanta afinidade com Matemática não serem tão prejudicados.

As avaliações contínuas devem ser aplicas em um momento de integração entre aluno e professor, pois também é um momento onde o professor irá avaliar outros aspectos que não são perceptíveis apenas com aplicações de provas.

Por Danielle de Miranda
Graduda em Matemática
Equipe Brasil Escola











Desafios que podem ser propostos no estudo de equações
Ao final dos conteúdos é interessante propor alguns desafios que relacionam o conteúdo aprendido, pois além dos alunos colocarem em prática os conhecimentos adquiridos eles terão a oportunidade de desenvolver a capacidade de resolver problemas matemáticos.

O estudo de equação está diretamente ligado com problemas matemáticos, assim os desafios que envolvem equações são em sua maioria situações problemas, veja alguns desafios que podem ser aplicados nas aulas de matemática e suas respectivas soluções.

Problema: As três árvores
Num sítio havia 3 árvores carregadas de mangas. Ana e Marta colheram certo número de mangas da primeira árvore, mas jogaram 6 fora, pois estavam estragadas. Da segunda árvore colheram um número de mangas equivalente a das que havia sobrado, mas voltaram a jogar 2 fora. Da terceira árvore, colheram do total que tinham até então e,
sem jogar nenhuma fora, apanharam ainda dessa árvore mais de quantas mangas
tinham até aquele momento. Ficaram assim com o dobro do número de mangas que tinham colhido da primeira árvore. Diga-me, quantas mangas Ana e Marta colheram da primeira árvore?

Resolução:

Devemos equacionar as informações.
• Ana e Marta colheram certo número de mangas da primeira árvore: x
• Jogaram fora 6: x – 6
• Da segunda árvore, colheram 1 das que restaram: x – 6 + x – 6
3 3

• Jogaram fora 2:
• Da terceira árvore, colheram do total que tinham até então:


• E depois mais 1/3 de quantas tinham colhido até aquele momento:


• Ficaram com o dobro das mangas colhidas da primeira árvore: 64x – 480 = 2x
27

Resolvendo a equação encontrada temos:
64x – 480 = 2x
27

64x – 480 = 54x
64x – 54x = 480
10x = 480
x = 480 : 10
x = 48

Resposta: Da 1º árvore foram colhidas 48 mangas.

Problema: quantos anos ela tem?
Quantos anos têm Ana e Marta, se a soma das idades mais a diferença entre elas mais o seu produto é igual a 100 anos, e Ana é mais velha do que Marta?

Resolução:

Iremos estipular: a idade de Ana como sendo X e a idade de Marta como sendo Y, portanto, equacionamos as informações dadas no problema.

(x + y) – (x – y) + xy = 100
Vamos isolar y, ou seja, deixar o valor de y em função de x>
x + y + x – y + xy = 100
2x + xy = 100
x (2 + y) = 100
2 + y = 100
x
y = 100 - 2
x

Como x e y representam idades, os seus valores serão números inteiros, portanto observando a equação encontrada x é um divisor de 100, então x poderá ser:
1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100.

Substituindo esses valores de x na equação iremos obter para cada valor acima um valor pra y, veja:


Observando os valores encontrados e algumas informações dadas no enunciado, podemos obter a seguinte resposta:

Resposta: como o problema diz que Ana é mais velha que Marta, Ana e Marta podem ter, respectivamente, 10 anos e 8 anos, 20 anos e 3 anos ou 25 anos e 2 anos.

Problema: cento de aves
Se um galo vale 5 yuan, uma galinha 3 e três frangos valem 1, quantos de cada um podem comprar com 100 yuan, de modo que sejam 100 aves ao todo e pelo menos 4 galos?

Resolução:

Devemos representar cada ave por uma letra para facilitar a montagem da equação. O número de galos será representado por x, o número de galinhas por y e o número de frangos por z.

x + y + z = 100

5x + 3y + 1/3z = 100

Na segunda equação encontrada podemos colocar z em função de x e y:

1/3z = 100 – 5x – 3y
z = 3 (100 – 5x – 3y)
z = 300 – 15x – 9y

Substituindo o valor de z encontrado na primeira equação, temos:

x + y + 300 – 15x – 9y = 100
-14x – 8y = 100 – 300
-14x – 8y = -200 dividindo a equação por -2 temos:
7x + 4y = 100

Isolamos y:
4y = 100 – 7x
y = 100 – 7x
4
y = 100 – 7x
4 4
y = 25 – 7 . x/4

Como os valor que x e y representam quantidades, essas quantidades são representadas por números naturais, assim os valores que x irá assumir serão múltiplos de 4. Portanto, x poderá assumir valores iguais a:

0, 4, 8, 12, 16, 20. Substituindo os mesmo na equação 300 – 15x – 9y, teremos valores para y, veja:


Excluímos alguns resultados, como o que x é igual a zero e os resultados que constam y iguais a valores negativos. Com as informações do problema, chegamos a uma conclusão:

Resposta: Como são 100 aves ao todo e pelo menos 4 galos, concluímos que com 100 yuan é possível comprar:

- 4 galos, 18 galinhas e 78 frangos.
- 8 galos, 11 galinhas e 81 frangos.
- 12 galos, 4 galinhas e 84 frangos.
Por Danielle de Miranda
Graduada em Matemática





























Descobrindo a Idade de uma Pessoa

As inúmeras didáticas de ensino da atualidade visam facilitar a compreensão e fixação de vários conteúdos relacionados ao ensino da Matemática. Os jogos realizados em sala promovem uma interação entre os alunos, reforçam de forma direta a questão do respeito às regras, trabalham conteúdos envolvendo operações básicas e estimulam a busca por soluções.
Uma atividade capaz de estimular o cálculo mental e reforçar operações básicas como adição, subtração e multiplicação é a brincadeira que um aluno, através de uma sequência de cálculos, descobre a idade atual do seu colega. A atividade consiste em aplicar as seguintes regras postuladas em sequência, veja:

Escrever um número de dois algarismos
Multiplicar o número por dois
Adicionar cinco ao produto da multiplicação
Multiplicar o resultado por cinquenta
Adicionar ao produto, a diferença entre o ano atual e 250.
Subtrair o ano do nascimento.

O número encontrado será composto de quatro algarismos e deverá ser analisado da seguinte forma:

O dois números da direita correspondem à dezena e à unidade e indicam a idade da pessoa. Os dois algarismos da esquerda correspondem às centenas e à milhar e indicam o número que a pessoa pensou anteriormente. Vamos verificar os cálculos com base no número 13.

1º passo
Escrever um número de dois algarismos: 13

2º passo
Multiplicar o número por dois: 13 x 2 = 26

3º passo
Adicionar cinco ao produto da multiplicação: 26 + 5 = 31

4º passo
Multiplicar o resultado por cinquenta: 31 x 50 = 1550

5º passo
Adicionar ao produto, a diferença entre o ano atual e 250: 2010 – 250 = 1760
1550 + 1760 = 3310

6º passo
Subtrair o ano do nascimento: 3310 – 1979 = 1331
O número pensado foi o 13, e a idade da pessoa completa ou a completar no ano vigente, é de 31 anos.


Ao desenvolver essa atividade o professor deve conduzir o exercício utilizando a resolução passo a passo no quadro, analisando com os alunos todos os cálculos efetuados, a fim de descobrirem o segredo do jogo e as operações utilizadas.

Didáticas de Ensino na Resolução de Situações Problemas
Matemática tem se tornado componente fundamental da sociedade moderna em que vivemos. Ela está contribuindo na formação de indivíduos, por isso as pesquisas educacionais na área prosseguem de forma contundente, visando adequações e novas formas de abordagem no processo ensino-aprendizagem da disciplina em questão.

Os estudos mostram que devemos deixar de lado aquelas ideias centradas e mecanizadas, utilizadas como fonte principal para o ensino da Matemática. Aulas criativas que induzem o aluno a criar mecanismos na busca pela resposta são propostas por especialistas da área de ensino. Situações problemas envolvendo cálculos devem ser apresentados ao educando, sendo que as formas de resolução devem partir do próprio aluno, criando mecanismos e novas formas de encontrar a solução correta.

O profissional da educação deve registrar o caminho desenvolvido pelo educando na resolução da situação problema e posteriormente organizar discussões, nas quais as explicações deverão acontecer por parte dos jovens, pois foram eles os autores das respostas. De certa forma essa metodologia se torna interessante, uma vez que as discussões geram uma tempestade de ideias, fazendo com que os grupos percebam se os resultados encontrados estão corretos.

A resolução de problemas contextualiza e interdisciplina o ensino da Matemática, os educandos viabilizam conceitos que auxiliam na compreensão e reflexão das propostas. Isso desperta a discussão, proporcionando a argumentação através de estruturas matemáticas capazes de solucionar as questões em ênfase. É por meio dessas discussões que surgem opiniões capazes de criar e reformular ideias, objetivando e disponibilizando novas possibilidades de resolução dos problemas.

O despertar acontece de forma gradativa, a utilização dos novos mecanismos e ferramentas auxiliares no desenvolvimento da Matemática desperta no aluno a satisfação, motivando sua participação em novas situações, pois o seu progresso é atribuído ao seu esforço.

Essa forma de ensinar visa analisar os conhecimentos adquiridos por parte dos alunos, oferecendo novos conteúdos, que, aliados aos já existentes, proporcionarão ao educando uma base curricular completa na disciplina de Matemática.
Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola















Dificuldade em Aprender Matemática


A Matemática é considerada uma das disciplinas que ocasiona o maior índice de alunos em recuperação e está presente assiduamente nas reprovações. Inúmeros estudos revelam que a problemática relaciona-se a fatores ligados ao ensino prazeroso da Matemática, por meio da introdução de jogos pedagógicos e utilização de programas computacionais nas aulas de geometria e trigonometria. Essas medidas têm contribuído na desmistificação de que a Matemática é um bicho de sete cabeças, impossível de se aprender. A reformulação do ensino da matemática propôs uma série de situações didáticas e novas metodologias na relação ensino-aprendizagem. O surgimento de novos processos educacionais criou um leque de opções, dando liberdade ao professor para mudar sua linha educacional embasado em novas teorias, certificadas e comprovadas.

Alguns fatores envolvendo o baixo rendimento dos alunos em Matemática podem estar diretamente ligados a alguns problemas, como: auditivos, visuais, leitura e escrita.

Problemas auditivos
O aluno não consegue ouvir claramente o que o professor está dizendo, levando-o à incapacidade de aprender os conteúdos matemáticos. Procure relacionar em seu planejamento, aulas orais e exercícios ditados calmamente. Essa estratégia permite que você visualize aquele aluno que está com um possível problema auditivo.

Problemas relacionados à leitura
A ocorrência de falhas no processo de leitura provoca uma interpretação de má qualidade, prejudicando o raciocínio na resolução de situações-problemas. Alguns alunos apresentam problemas em realizar uma leitura dinâmica, mas quando uma pessoa lê o problema em voz alta, eles conseguem raciocinar e buscar soluções adequadas.

Problemas visuais
Os problemas de acuidade visual são comuns na infância, e quando não identificados, podem prejudicar de forma concreta o rendimento escolar. Caso verifique a ocorrência de algum aluno com dificuldade de visualização, procure situar este estudante mais próximo do quadro. Persistindo o problema, procure a coordenação e comunique o fato, a qual informará aos pais sobre uma possível deficiência visual, que pode ser verificada em uma simples consulta ao oftalmologista. Problemas como estes são resolvidos com uma lente corretiva ou o uso de óculos.

Problemas relacionados à escrita
A disgrafia é um problema ligado à linguagem escrita. Crianças portadoras do mesmo, possuem dificuldade na escrita de letras e números. Dessa forma, a própria criança fica impossibilitada de ler o que escreveu, gerando assim, um baixo rendimento escolar. Caso note que um aluno possui lentidão ao escrever, textos desorganizados, letra ilegível, traços irregulares e espaçamento entre as linhas desordenados, pode ser um sinal de disgrafia. Da mesma forma, procure repassar o problema à coordenação que buscará soluções adequadas e eficientes para solucionar a situação.

Procure conhecer sua sala de aula postulando casos isolados e identificando problemas logo no início. Nunca exponha um problema individual referente a algum aluno, de maneira coletiva. Essa situação pode ocasionar problemas graves voltados para o meio comportamental, procure trabalhar em parceria com a coordenadora pedagógica de sua escola, pois ela possui procedimentos adequados para conduzir a situação frente aos pais ou responsáveis e aos próprios colegas.








Dominó dos Números Inteiros

O dominó dos números inteiros tem a finalidade de expressar os cálculos de adição, subtração, multiplicação, divisão, jogo de sinais na multiplicação e divisão e propriedades das operações entre números com mesmo sinal e sinais diferentes, referentes aos números inteiros.
O professor deve aplicar este jogo na própria sala de aula ou em salas específicas para jogos matemáticos, no intuito de verificar a fixação dos conteúdos ministrados.

As regras

O jogo segue as regras do dominó tradicional, as pedras oferecem cálculos e respostas que devem ser colocadas na ordem correta, a pedra “branca” substituirá qualquer resultado ou operação.
Pode jogar 2, 3 ou 4 alunos.
Dois alunos: 7 pedras para cada, 14 pedras constituirão o monte, caso algum alguém não tenha a pedra para jogar deverá comprar no monte.
Três alunos: 7 pedras para cada um, 7 pedras no monte.
Quatro alunos: 7 pedras para cada um. No jogo com quatro alunos não teremos o monte, aquele que não obter o resultado para jogar passa a vez para o próximo.

Material:
Cartolina, EVA (qualquer cor) ou blocos de madeira.
Tesoura (no caso de ser de cartolina ou EVA)
Caso seja feito de cartolina recomenda-se plastificar.

+1 -6 -22 +2 -28 -100
(+3) x (-2) -10 -12 (-8) : (-4) (-7) x (+4) -99 -11 +37+4
+41 -50 0 +11 +7 -1
(+100) : (-2) -1+1 -20+31 (-7) x (-1) (+3) : (-3) (-5) x (-3)
+15 -51 +9 +3 -9 +51
-11 -40 +2 +7 +15 - 12 (+81) : (-9) +11 + 40 (-7) x (+1)
--7 +3 +4 -36 -200 -71
(-3) : (-1) (+20) : (+5) (+9) x (-4) -100 -100 -1 -70 +22 +7
+29 +21 +40
-9 +30 (+10) x (+4) (+144) : (-12)


Embaralhando a tabuada
O jogo (de competição) Embaralhando a Tabuada é uma atividade de caráter lúdico, estimula o raciocínio, possibilitando que a criança enfrente, sem perceber, os seus conflitos e limites relacionados com a matemática (tabuada).

Embaralhando a tabuada pode ser considerado um recurso didático de fácil aplicação e de retorno preciso, podendo ser desenvolvido com alunos do ensino fundamental 1° fase (1º ao 5° ano). Veja como construir e jogar:

Peças do jogo:
20 círculos numerados de 1 a 10.

Número de participantes: 2

Regras do jogo:
• Distribua os círculos sobre a mesa, com as faces (numeradas) voltadas para baixo.
• O primeiro jogador, que deverá ser determinado por sorteio, escolhe dois círculos e faz a multiplicação dos números, um pelo outro. Caso efetue a multiplicação corretamente pega os círculos pra si, se errar coloque-os novamente sobre a mesa, virados para baixo, assim é preciso que os embaralhe novamente.
• Assim segue o jogo que só terá fim quando todos os círculos acabarem e vencerá o jogador que ao final tiver a maior quantidade de peças.


















Ensinando Frações Através de Situações Problema

Estudando números na forma de fração
Os estudos iniciais de frações se restringem às análises de partes inteiras divididas em partes fracionadas, os objetos citados para o estudo sempre são: a pizza e a barra de chocolate. As operações entre frações exigem técnicas matemáticas na resolução, as quais precisam ser interpretadas, e não decoradas - como de praxe.

Atividades propostas relacionadas às frações precisam ser trabalhadas em sala, pois objetivam o estudo e concretizam as técnicas de resolução, contribuindo para o entendimento contextual, desfazendo a ideia de que para aprender Matemática é preciso decorar.

Um famoso problema relacionado ao matemático Malba Tahan pode ser trabalhado e servir como modelo de exercício contextualizado envolvendo frações.

Um pai, ao morrer, deixa um testamento repartindo 35 camelos aos seus três filhos da seguinte maneira: metade para o filho mais velho, um quarto para o filho do meio e um nono para o filho mais novo. O problema da divisão começa na seguinte questão:
1/2 (metade) de 35 é igual a 17,5 camelos
1/3 (um quarto) de 35 é igual a 11,6 camelos
1/9 (um nono) de 35 é igual a 3,88 camelos
Por se tratar de animais, as divisões precisam ter resultado inteiro, pois não podemos reparti-los.
Malba Tahan, um grande matemático da época, é chamado para solucionar o problema.
Ao chegar e ver a situação propõe uma solução: ele acrescenta seu camelo aos 35, então a divisão será feita baseada em 36 camelos, ficando assim:

1/2 de 36 é 18.
1/3 de 36 é 12.
1/9 de 36 e 4.

O irmão mais velho ficará com 18 camelos.
O do meio receberá 12 camelos.
E o mais novo 4 animais.

Se somarmos os animais após a divisão teremos: 18+12+4 = 34, os dois que sobraram: um é o do Malba Tahan e o outro é a cobrança pelo serviço prestado.

Note que problemas desse tipo levam o aluno a buscar novas formas de resolução, pois como foi mostrado, a divisão inicial não dava resultados satisfatórios. Mas uma visão mais sistemática da situação fez com que o matemático adaptasse o problema na busca de um resultado justo. Todos ficaram satisfeitos com a divisa, inclusive Malba Tahan.
Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

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